#检查并安装编译依赖
apt update && apt install build-essential zlib1g-dev

#配置openssl编译参数
./config shared zlib --prefix=/usr/local/openssl-1.1.1e

编译并安装openssl到制定位置
make clean && make && make install

#备份旧版本
mv /usr/bin/openssl /usr/bin/openssl.old
mv /usr/include/openssl /usr/include/openssl.old

#链接新版本
ln -s /usr/local/openssl-1.1.1e/bin/openssl /usr/bin/openssl
ln -s /usr/local/openssl-1.1.1e/include/openssl/ /usr/include/openssl
echo "/usr/local/openssl-1.1.1e/lib" >> /etc/ld.so.conf

#加载动态库
ldconfig -V 

#查看版本
openssl version

#如果查看版本过程中提示错误,可能还要链接其它库文件 /somewhere
ln -s /usr/local/openssl-1.1.1e/lib/libssl.so.1.1 /somewhere/libssl.so.1.1
ln -s /usr/local/openssl-1.1.1e/lib/libcrypto.so.1.1 /somewhere/libcrypto.so.1.1

以下为各种参考:
升级你的OPENSSL
帮Nginx升级,报错的却是OpenSSL?
Linux系统安装 OpenSSL两种方法
Linux系统OpenSSL版本升级
从启用 HTTP/2 导致网站无法访问说起
Using TLS1.3 With OpenSSL